几何重数(GM)#

对应于特征值$\lambda$的特征向量中线性无关的最大个数

其实就是$(A - \lambda I)$的零空间的维度

e.g.: 如果$\lambda = 2$的特征向量中线性无关的就只有一个$\mathbf{v_1}$，则$\lambda = 2$的几何重数是1

代数重数(AM)#

$\lambda$的代数重数是解特征方程时该$\lambda$解出来的次数

e.g.: $(\lambda - 2)^3 = 0$，则$\lambda = 2$的代数重数是3

关系(对于每个特征值$\lambda$)#

• 如果$\text{几何重数} = \text{代数重数}$，则矩阵$A$是可对角化的
• 如果$\text{几何重数} < \text{代数重数}$，则矩阵$A$是不可对角化的，称为亏缺矩阵(defective matrix)

不同特征值的特征向量一定线性无关，所以不同特征值的几何重数一定是1，换言之，如果仅有一个线性无关的特征向量，那么一定存在重复特征值，也就是亏缺矩阵