[人工智能数学基础] 秩-零度化定理

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[人工智能数学基础] 秩-零度化定理

2026-04-25

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数学

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线性代数

秩-零度化定理#

设 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，则有：

$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$

\text{rank}(A) = \text{行空间维度} = \text{列空间维度}

列空间不是

A\mathbf{x} = 0 \quad \text{当且仅当} \quad \mathbf{x} \in \text{零空间}

由此可得 $A$ 的零空间中每个向量 $\mathbf{x}$ 都会与 $A$ 的行空间中的每个向量 $\mathbf{a}_i$ 满足：

\mathbf{a}_i^T \mathbf{x} = 0

内积得0说明它们是正交的

NOTE
左零空间和列空间是正交补
$\mathbf{y}^T A = \mathbf{0} \quad \text{当且仅当} \quad \mathbf{y} \in \text{左零空间}$

[人工智能数学基础] 秩-零度化定理

作者

A1kari8

发布于

2026-04-25

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