向量空间#

向量空间是一个集合，满足以下条件：

1. 向量加法：对于任意向量$u$和$v$，有$u + v$也是向量空间中的元素
2. 数乘封闭：对于任意向量$u$和标量$\alpha$，有$\alpha u$也是向量空间中的元素
3. 存在零向量：存在$\mathbf{0}$，使得对于任意向量$u$，有$u + \mathbf{0} = u$

常见的向量空间包括：

• $\mathbb{R}^n$：所有$n$维实数向量的集合
• $\mathbb{C}^n$：所有$n$维复数向量的集合

子空间#

子空间是向量空间的一个子集，满足以下条件：

1. 包含零向量：$\mathbf{0} \in W$
2. 加法封闭性：对于任意$u, v \in W$，有$u + v \in W$
3. 数乘封闭性：对于任意$u \in W$和标量$\alpha$，有$\alpha u \in W$

Span张成空间/生成空间#

$Span$是一组向量经过线性组合后能到达的所有位置

$Span$的结果一定是一个子空间

和#

$U$和$W$是向量空间$V$的子空间，则$U$和$W$的和定义为：

基#

子空间的最小生成集合

基是一个向量集合，满足以下条件：

1. 线性无关：集合中的向量之间没有线性关系
2. 张成空间：集合中的向量可以通过线性组合生成整个空间
3. 基中向量个数等于空间的维数