[人工智能数学基础] Sherman-Morrison公式及其变体 - A1kari8

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[人工智能数学基础] Sherman-Morrison公式及其变体

2026-04-22

人工智能数学基础

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数学

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线性代数

假设我们刚刚算完一个巨大的矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ ，但现在 $A$ 被加上了一个秩为1的微扰(一个向量外积 $uv^T$ )，Sherman-Morrison公式让我们可以基于 $A^{-1}$ 快速计算出新的矩阵 $(A + uv^T)^{-1}$ 的逆矩阵，而不需要重新计算整个逆矩阵

Sherman-Morrison恒等式#

(A + uv^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1 + v^TA^{-1}u}

前提条件是 $1 + v^TA^{-1}u \neq 0$ ，否则新的矩阵将不可逆(很明显分母不能为零)

Sherman-Morrison-Woodbury恒等式#

$A$ 为 $d \times d$ 的可逆矩阵，若 $U$ 和 $V$ 分别是 $d \times k$ 和 $d \times k$ 的矩阵， $k$ 为较小的值时：

(A + UV^T)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U(I + V^TA^{-1}U)^{-1}V^TA^{-1}

前提条件是 $I + V^TA^{-1}U$ 必须可逆

[人工智能数学基础] Sherman-Morrison公式及其变体

https://a1kari8.github.io/posts/ai_math/sherman-morrison/

作者

A1kari8

发布于

2026-04-22

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

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