[工科概率论] 随机变量的独立性

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[工科概率论] 随机变量的独立性

2025-11-23

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数学

随机变量独立性的定义#

P(X \le x, Y \le y) = P(X \le x) P(Y \le y)

或者写成

F(x,y) = F_X(x) F_Y(y)

就称随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立

$X$ 与 $Y$ 独立的充分必要条件为

f(x,y) = f_X(x) f_Y(y)

$X$ 与 $Y$ 独立的充分必要条件为

\large p_{ij} = p_{i\cdot} p_{\cdot j}

如果随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立，则它们的相关系数 $\rho_{XY} = 0$ ，但反过来不成立， $\rho_{XY} = 0$ 并不能说明 $X$ 与 $Y$ 独立

X,Y\text{独立} \Rightarrow \rho_{XY} = 0

例如，设随机变量 $X$ 服从均匀分布 $U(-1,1)$ ，定义随机变量 $Y = X^2$ ，则可以计算出 $\rho_{XY} = 0$ ，但显然 $Y$ 完全由 $X$ 决定，二者并不独立

如果 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，则是充要条件

\rho_{XY} = 0 \Leftrightarrow X,Y\text{独立}

[工科概率论] 随机变量的独立性

作者

A1kari8

发布于

2025-11-23

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