[工科概率论] 多维随机变量及其分布

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[工科概率论] 多维随机变量及其分布

2025-11-23

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数学

应该是只考察二维的

定义#

设 $(X, Y)$ 为二维随机变量， $x,y$ 为任意实数，记事件 $\left \{ X \le x \right \}$ 与 $\left \{ Y \le y \right \}$ 的交为 $\left \{ X \le x, Y \le y \right \}$ ，则二元函数

F(x,y) = P\left ( X \le x, Y \le y \right )

称为 $(X, Y)$ 的分布函数，或称为 $X$ 与 $Y$ 的联合分布函数

设 $(X, Y)$ 为二维随机变量， $F(x,y)$ 为其联合分布函数，则称

F_X(x) = \lim_{y \to +\infty} F(x,y)

为 $X$ 的边缘分布函数，称

F_Y(y) = \lim_{x \to +\infty} F(x,y)

为 $Y$ 的边缘分布函数

若二维随机变量 $(X, Y)$ 所有可能取值 $(x_i, y_j)$ 是有限个或可列无穷多个，则称 $(X, Y)$ 为二维离散型随机变量

p_{ij} = P(X = x_i, Y = y_j)

$p_{ij}$ 称为 $(X, Y)$ 的分布列或联合分布列

\large F(x,y) = P(X \le x, Y \le y) = \sum_{x_i \le x} \sum_{y_j \le y} p_{ij}

P(X = x_i) = P(X = x_i, \bigcup_{j = 1}^{\infty} (Y = y_j)) = \sum_{j = 1}^{\infty} p_{ij} = p_{i \cdot}

同理， $\large P(Y = y_j) = \sum_{i = 1}^{\infty} p_{ij} = p_{\cdot j}$

分布列表格：

$X \backslash Y$	$y_1$	$y_2$	$\cdots$	$y_j$	$\cdots$	$p_{i \cdot}$
$x_1$	$p_{11}$	$p_{12}$	$\cdots$	$p_{1j}$	$\cdots$	$p_{1 \cdot}$
$x_2$	$p_{21}$	$p_{22}$	$\cdots$	$p_{2j}$	$\cdots$	$p_{2 \cdot}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$
$x_i$	$p_{i1}$	$p_{i2}$	$\cdots$	$p_{ij}$	$\cdots$	$p_{i \cdot}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$
$p_{\cdot j}$	$p_{\cdot 1}$	$p_{\cdot 2}$	$\cdots$	$p_{\cdot j}$	$\cdots$	1