[工科概率论] 分布函数密度函数

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[工科概率论] 分布函数密度函数

2025-11-23

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数学

用于解决区间上的概率问题

区间上的概率#

P(x_1 < X \le x_2) = P(X \le x_2) - P(X \le x_1) = F(x_2) - F(x_1)

F(x) = P(X \le x)

\begin{aligned} F(-\infty) &= \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 \\ F(+\infty) &= \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 \\ F(x_1) &\le F(x_2), \quad x_1 < x_2 \quad \text{（单调不减）} \\ F(x^+) &= F(x) \quad \text{（右连续）} \end{aligned}

用 $f(x)$ 表示

\begin{aligned} F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt \\[1.5em] f(x) = F^{\prime}(x) \end{aligned}

P(X = x) = P(x \le X \le x) = F(x) - F(x) = 0

TIP
一个事件的概率为0不一定是不可能发生的事件；概率为1也不一定是必然发生的事件

F(x) = \int_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx

$x_1, x_2$ 分别为密度函数区间的上下限

注意分布函数是累计概率，需要叠加之前区间的概率

e.g.

已知密度函数

f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, \quad a < x < b \\[1.5em] 0, \quad \text{其他} \end{cases}

求分布函数，解：

F(x) = \begin{cases} \int_{-\infty}^{x} 0 \, dx = 0, \quad x \le a \\[1.5em] \int_{a}^{x} \dfrac{1}{b-a} \, dx + 0 = \dfrac{x-a}{b-a}, \quad a < x < b \\[1.5em] \int_{a}^{b} \dfrac{1}{b-a} \, dx + 0 = 1, \quad x \ge b \end{cases}

f(x) = F^{\prime}(x)

这个就很无脑了，直接求导完把对应的分布函数的区间抄下来就行

[工科概率论] 分布函数密度函数

作者

A1kari8

发布于

2025-11-23

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