分布函数法#

e.g. 已知$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，求$Y = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$的概率密度

解：

先求$Y$的分布函数：

如果已知$X$的分布函数$F_X(x)$，也可以代入得到$Y$的分布函数$F_Y(y)$再求导得$f_Y(y)$（记得要把$F_X(x)$的区间也带入）但这道例题正态分布的分布函数没有解析式，所以接下来直接求导得到密度函数

将上式两侧分别对$y$求导，得到$Y$的密度函数：

$f_X(x)$为已知的正态分布密度函数，代入上式即可得到$Y$的密度函数：

公式法#

设$X$为连续型随机变量，$Y = g(X)$，且$g(x)$为区间$(a,b)$上的单调可微函数，则$Y=g(X)$的概率密度为：

其中，$h(y)$为$g(x)$的反函数，$A = \min\{g(a), g(b)\}$，$B = \max\{g(a), g(b)\}$

e.g. 对球的直径进行测量，设其值$X$在区间$(a,b)$上服从均匀分布，求球的体积$Y$的概率密度

解：

先写出$X$的密度函数：

球的体积$Y$与直径$X$的关系为： $Y = g(X) = \dfrac{\pi}{6} X^3$

得$y = \dfrac{\pi}{6} x^3 \quad a<x<b$

可见这是一个单调可微函数，接下来求反函数$h(y)$： $x = h(y) = \sqrt[3]{\dfrac{6y}{\pi}} \quad \dfrac{\pi}{6}a^3 < y < \dfrac{\pi}{6}b^3$

所以：