[工科概率论] 二维连续型随机变量

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[工科概率论] 二维连续型随机变量

2025-11-23

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数学

$f(x,y)$ 为二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度函数

分布函数#

F(x,y) = P(X \le x, Y \le y) = \int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f(u,v) \, du \, dv

概率密度相当于平面的质量密度，分布函数相当于某一区域的质量总和

\dfrac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x \partial y} = f(x,y)

设 $G$ 为平面上的一个区域，则点 $(X, Y)$ 落在区域 $G$ 内的概率为

P\left((X, Y) \in G\right) = \iint_{G} f(x,y) \, dx \, dy

f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dy

f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dx

设 $(X, Y)$ 在区域 $G$ 内服从二维均匀分布，则其概率密度函数为

f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{1}{S(G)}, & (x,y) \in G \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}

$S(G)$ 为区域 $G$ 的面积

设 $D$ 为 $G$ 的子区域，则可以很直观地得到

P\left((X, Y) \in D\right) = \frac{S(D)}{S(G)}

就是子区域面积占总面积的比例

设 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，记为

(X, Y) \sim N(\mu_X, \mu_Y, \sigma_X^2, \sigma_Y^2, \rho)

$\rho$ 为相关系数， $-1 \le \rho \le 1$

则其概率密度函数为

f(x,y) = \frac{1}{2 \pi \sigma_X \sigma_Y \sqrt{1 - \rho^2}} \exp{\left\{ -\frac{1}{2(1 - \rho^2)} \left[ \frac{(x - \mu_X)^2}{\sigma_X^2} - \frac{2 \rho (x - \mu_X)(y - \mu_Y)}{\sigma_X \sigma_Y} + \frac{(y - \mu_Y)^2}{\sigma_Y^2} \right] \right\}}

我草了怎么这么长

其实就是一维正态分布密度函数

f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_X} \exp{\left( -\frac{(x - \mu_X)^2}{2 \sigma_X^2} \right)}

$y$ 的同理

[工科概率论] 二维连续型随机变量

作者

A1kari8

发布于

2025-11-23

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