定义1.2.4 以集合为元素的集合称为集族#

设$\large A_1,A_2,A_3$为集合，则$\large \left \{ A_1,A_2,A_3 \right \}$为一个集族。若令$\large I=\left \{ 1,2,3 \right \}$，则$\large \forall i\in I$，$\large i$确定了一个唯一的集合$\large A_i$

集族$\large \left \{ A_1,A_2,A_3 \right \}$又常写成$\large \left \{ A_i \right \} _{i\in I}$，即$\large I$中元素$\large i$确定的那些集形成的集族

定义1.2.5#

集合$\large S$的所有子集(包括空集$\large \varnothing$及$\large S$本身)形成的集族称为$\large S$的幂集，并记为$\large 2^{S}$，或$\large \mathscr{P}(S)$

($\large \mathscr{P}$是字母$\large P$)

于是，$\large 2^{S}=\left \{ A | A\subseteq S \right \}$

例: 设$\large S= \left \{ 1,2,3 \right \}$，则$\large 2^{S}=\left \{\varnothing ,\left \{ 1 \right \} \left \{ 2 \right \} \left \{ 3 \right \} \left \{ 1,2 \right \} \left \{ 1,3 \right \} \left \{ 2,3 \right \} \left \{ 1,2,3 \right \} \right \}$

$\large S$有八个子集

多个集合的并集#

$\large A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$缩写为$\large \bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i$

若$\large A_1,A_2,\cdots ,A_n,\cdots$是一个集合的无穷序列，则它们的并集缩写为$\large \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n$其定义为$\large \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n=\left \{ x | \exists n \in N\text{ 使得 }x\in A_{n} \right \}$，$\large N$是自然数之集

若$\large \left \{ A_l \right \} _{l\in I}$是任一集族，则集族中那些集之并集记为$\large \bigcup\limits_{l=I}A_l$ 并且$\large \bigcup\limits_{l=I}A_l= \left \{ x | \exists l \in I \text{ 使得 }x\in A_{l} \right \}$

多个集合的交集#

$\large A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n=\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_n=\left \{ x | \forall i \in \left \{ 1,2,\cdots ,n \right \} ,x\in A_{i} \right \}$

$\large A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n \cap \cdots=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}A_n=\left \{ x | \forall n \in N ,x\in A_{n} \right \}$

集族$\large \left \{ A_l \right \} _{l\in I}$各集的交记为$\large \bigcap\limits_{l=I}A_l=\left \{ x | \forall \xi \in I\text{ 使得 }x\in A_{\xi} \right \}$

定理1.3.3#

设$\large A$为任一集合，$\large \left \{ B_l \right \} _{l\in I}$为任一集族，则

其中$\large I \neq \varnothing$

交并运算满足分配律#

定理 1.3.5 吸收律#

差集 定义 1.3.4#

设$\large A$与$\large B$为两个任意的集合，由属于$\large A$但不属于$\large B$的一切元素构成的集合称为$\large A$与$\large B$的差集，并记为$\large A \backslash B$

$\large A \backslash B=\left \{ x | x \in A \text{ 且 }x \notin B \right \}$

$\large A$有$\large B$没有的元素

对称差#

定义1.3.5 $\large A\backslash B$与$\large B\backslash A$的并集称为$\large A$与$\large B$的对称差，记为$\large A \Delta B$

$\large A \Delta B=\left ( A\backslash B\right )\cup \left ( B\backslash A \right )=\left \{ x | x\in A\cup B \text{ 且 }x\notin A\cap B \right \}=\left \{ x | x\in A \text{ 或 }x\in B \text{ 但 }x\notin A\cap B \right \}$

说白了就是$\large A$和$\large B$不同时含有的元素

余集 定义 1.4.1#

设$\large S$是一个集合，$\large A\subseteq S$，差集$\large S\backslash A$称为集$\large A$对集$\large S$的余集，记为$\large A^{c}$，即$\large A^{c}=S\backslash A$

余集也称为补集，有的使用$\large C_{S}A$表示$\large A$对$\large S$的余集(本人高中就学的这种写法)