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[工科复变函数] 泰勒级数
2025-09-27
复变函数
复变函数
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数学

这篇的常见级数主要在洛朗级数中使用，复变的考试不会再考泰勒级数了

泰勒级数#

f(z)=∑n=0∞f(n)(z0)n!(z−z0)nf(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z - z_0)^n

系数ana_n定义（证明题可能会考）

an=12πi∮Cf(z)(z−z0)n+1 dz=f(n)(z0)n!a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}

z0z_0为展开中心，CC为包含z0z_0的闭合曲线

常用的泰勒级数#

11+z=∑n=0∞(−1)nzn∣z∣<111−z=∑n=0∞zn∣z∣<1\begin{aligned} \frac{1}{1+z} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n z^n \quad |z| < 1 \\ \frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n \quad |z| < 1 \end{aligned}

自然对数#

ln⁡(1+z)=∑n=1∞(−1)n−1znn∣z∣<1\ln(1+z) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{z^n}{n} \quad |z| < 1

自然指数函数#

ez=∑n=0∞znn!∣z∣<∞e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \quad |z| < \infty

正弦函数#

sin⁡z=∑n=0∞(−1)nz2n+1(2n+1)!∣z∣<∞\sin z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad |z| < \infty

余弦函数#

cos⁡z=∑n=0∞(−1)nz2n(2n)!∣z∣<∞\cos z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} \quad |z| < \infty

正弦、余弦和自然指数函数的收敛域非常棒，展开洛朗级数的时候直接无脑展开

[工科复变函数] 泰勒级数
https://a1kari8.github.io/posts/complex_func/taylor_series/
作者
A1kari8
发布于
2025-09-27
许可协议
CC BY-NC-SA 4.0
[工科复变函数] 洛朗级数
[工科复变函数] 级数
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