[工科复变函数] 奇点、极点与零点

716 字

4 分钟

[工科复变函数] 奇点、极点与零点

2025-10-13

复变函数

/

数学

WARNING
本文以及本博客的数学内容主要作为个人笔记，其中包含大量的个人理解，存在不严谨甚至错误的内容，请谨慎阅读

孤立奇点#

设函数 $f(z)$ 在点 $z_0$ 的某个去心邻域内解析，且在点 $z_0$ 处不解析，则称 $f(z)$ 在点 $z_0$ 处有一个孤立奇点

孤立奇点的分类#

可去奇点#

有点像实数函数的可去间断点

将 $f(z)$ 在点 $z_0$ 处的洛朗级数展开式中所有负幂项的系数均为0，则称孤立奇点 $z_0$ 是可去奇点

充要条件： $z_0$ 是可去奇点 $\Leftrightarrow \lim\limits_{z\to z_0} f(z)$ 存在且有限

m阶极点#

有点像实数函数的极限无穷大点

将 $f(z)$ 在点 $z_0$ 处的洛朗级数展开式中有限个负幂项的系数不为0，且最高负幂项为 $m$ 次，则称孤立奇点 $z_0$ 是 $f(z)$ 的m阶极点

f(z) =\frac{a_{-m}}{(z-z_0)^m} + \frac{a_{-m+1}}{(z-z_0)^{m-1}} + \cdots + \frac{a_{-1}}{z-z_0} + a_0 + a_1(z-z_0) + \cdots

可见此展开式中 $m$ 是最后一个负幂项的次数，因此孤立奇点 $z_0$ 是 $f(z)$ 的m阶极点。

充要条件： $z_0$ 是极点 $\Leftrightarrow$ $\lim\limits_{z\to z_0} f(z) = \infty$

本性奇点#

有点像实数函数的震荡间断点

将 $f(z)$ 在点 $z_0$ 处的洛朗级数展开式中无限个负幂项的系数不为0，则称孤立奇点 $z_0$ 是 $f(z)$ 的本性奇点

充要条件： $z_0$ 是本性奇点 $\Leftrightarrow$ 不存在有限或无穷的极限 $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)$

如何判断极点的阶数#

若难以直接看出，使用零点#

函数 $\frac{g(z)}{f(z)}$ ，对 $f(z)$ 求 $n$ 阶导数，若在 $m$ 阶导处首次满足 $f^{(m)}(z_0) \neq 0$ ，那 $z_0$ 是 $f(z)$ 的m阶零点, $\left ( g(z_0) \neq 0 \right )$

所以 $z_0$ 是 $\frac{g(z)}{f(z)}$ m阶极点

NOTE
充要条件： $z_0$ 是 $f(z)$ 的 $m$ 阶零点 $\Leftrightarrow$ $\frac{1}{f(z)}$ 在 $z_0$ 处是 $m$ 阶极点

无穷孤立奇点#

刚刚介绍的孤立奇点的位置全是一个有限的复数点，而无穷孤立奇点则是指在无穷远处的奇点

还记得黎曼球面吗？可以发现若用黎曼球面来看复平面的话，复平面的无穷远点就是黎曼球面的北极点，也就是这是一个点

设函数 $f(z)$ 在某个去心邻域 $\{z:|z| > R\}$ 内解析，则称 $z=\infty$ 是 $f(z)$ 的无穷孤立奇点

为了研究无穷孤立奇点，可以将变量变换为 $w=\frac{1}{z}$ ，则当 $z \to \infty$ 时， $w \to 0$ ，于是可以研究 $f(\frac{1}{w})$ 在 $w=0$ 处的奇点性质

无穷奇点的分类#

既然用了倒数将无穷奇点转化为了有限点的奇点，那么无穷奇点的分类就也是”倒过来了”

其实将上方孤立奇点的分类中的”负幂项”改为”正幂项”即可

[工科复变函数] 奇点、极点与零点

https://a1kari8.github.io/posts/complex_func/singularity_pole_zero/

作者

A1kari8

发布于

2025-10-13

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

[工科复变函数] 留数

[NixOS] 使用CachyOS内核启用asusctl的功耗控制