比较判别法#

若 $0 \leq a_n \leq b_n$，则

• 若 $\large \sum b_n$ 收敛，则 $\large \sum a_n$ 收敛
• 若 $\large \sum a_n$ 发散，则 $\large \sum b_n$ 发散

比值判别法#

设 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$，则

• 若 $L < 1$，则 $\large \sum a_n$ 收敛
• 若 $L > 1$，则 $\large \sum a_n$ 发散
• 若 $L = 1$，则无法判断

根值判别法#

设 $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$，则

• 若 $L < 1$，则 $\large \sum a_n$ 收敛
• 若 $L > 1$，则 $\large \sum a_n$ 发散
• 若 $L = 1$，则无法判断

积分判别法#

设 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上连续、正值且单调递减，且 $a_n = f(n)$，则 $\large \sum a_n$ 与 $\int_1^{\infty} f(x) \, dx$ 同敛散

莱布尼兹判别法#

设 $\{a_n\}$ 单调递减且 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0$，则交错级数 $\large \sum (-1)^{n-1} a_n$ 收敛

复数取绝对值就是取模#

收敛域#

级数 $\large \sum f_n(z)$ 收敛的点的全体称为收敛域

和函数#

$s(z)$ 称为级数 $\large \sum f_n(z)$ 的和函数

定理 4.1.7#

若级数 $\large \sum f_n(z)$ 在域 $D$ 上一致收敛于和函数 $s(z)$，且各项 $f_n(z)$ 在域 $D$ 上连续，则其和函数 $s(z)$ 在域 $D$ 内处处连续

阿贝尔定理#

若幂级数在点$z_1$ 收敛，则在以$z_0$为圆心、$|z_1 - z_0|$为半径的圆盘内绝对收敛，且在所有半径小于$|z_1 - z_0|$的闭圆盘上一致收敛

求收敛半径#

柯西乘积#

设级数 $\large \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ 和 $\large \sum_{n=0}^{\infty} b_n z^n$ 的和分别为 $A$ 和 $B$，则级数

称为柯西乘积，记作 $C = A \cdot B$