[工科复变函数] 留数在实变函数积分中的应用

357 字

2 分钟

2025-10-24

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数学

应用留数可以计算某些难以直接计算的实积分

通常有以下几种形式：

第一种#

\int_{0}^{2\pi} R(\cos{\theta}, \sin{\theta}) d\theta

利用欧拉公式将 $\cos{\theta}$ 和 $\sin{\theta}$ 表示为复指数的形式：s

设 $z = e^{i\theta}$ ，则

\cos{n\theta} = \frac{z^n + \frac{1}{z^n}}{2}, \quad \sin{n\theta} = \frac{z^n - \frac{1}{z^n}}{2i}

代入得到

R(\cos{\theta}, \sin{\theta}) = R\left(\frac{z + \frac{1}{z}}{2}, \frac{z - \frac{1}{z}}{2i}\right) = f(z)

从而将积分变量从 $\theta$ 变为 $z$ ，并利用留数定理计算积分

\boxed{\int_{0}^{2\pi} R(\cos{\theta}, \sin{\theta}) d\theta = 2\pi i \sum_{k}^{p} \text{Res}(f(z),z_k)}

$z_k$ 是 $f(z)$ 在单位圆内的所有孤立奇点

有时会遇到积分区域不是 $0$ 到 $2\pi$ ，而是 $0到\pi$ 、 $-\pi$ 到 $\pi$ 等情况，这些都可以利用周期性或奇偶性进行转换

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 2\pi i \sum_{k}^{p} \text{Res}(f(z),z_k)

$z_k$ 是 $f(z)$ 在上半平面内的所有孤立奇点

$f(x)$ 的分母至少比分子高出一阶

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{i\lambda x} dx

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{i\lambda x} dx = 2\pi i \sum_{k}^{p} \text{Res}(f(z)e^{i\lambda z},z_k) + \pi i \sum_{k}^{q} \text{Res}(f(x)e^{i\lambda x},x_k)

$z_k$ 是 $f(z)$ 在上半平面内的所有孤立奇点， $x_k$ 是实轴上的一阶极点，且 $\lambda > 0$

有时候可能遇到比较隐蔽的形式，比如

\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos{\lambda x}}{g(x)} dx

可以将原式补齐 $i\sin{\lambda x}$ 再利用 $\mathbf{Re}化成欧拉公式的形式$ ：

\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos{\lambda x}}{g(x)} dx &= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ \mathbf{Re} \left ( \cos{\lambda x} + i\sin{\lambda x} \right )}{g(x)} dx \\[1.5em] &= \mathbf{Re} \left ( \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{i\lambda x}}{g(x)} dx \right ) \end{aligned}

然后利用第三种形式计算积分即可

[工科复变函数] 留数在实变函数积分中的应用

作者

A1kari8

发布于

2025-10-24

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