有限点的奇点#

设函数$f(z)$在点$z_0$处有一个孤立奇点，则$f(z)$在该点的留数定义为：

$$\text{Res}(f(z),z_0) = a_{-1}$$

其中$a_{-1}$是$f(z)$在点$z_0$处的洛朗级数展开式中第一个负幂项的系数

也就是，将$f(z)$在包围点$z_0$的环域展开成洛朗级数：取 -1次项 的系数即为在$z_0$处的留数

无穷奇点#

设函数$f(z)$在无穷远点处有一个孤立奇点，则$f(z)$在该点的留数定义为：

$$\text{Res}(f(z),\infty) = -a_{-1}$$

其中$a_{-1}$是在环域的洛朗级数展开式中第一个负幂项的系数

WARNING

通过上面的内容可知，$z_0$是$f(z)$的可去奇点时，若$z_0 \neq \infty$，则$\text{Res}(f(z),z_0) = 0$，但$z_0 = \infty$时却不一定成立

定理5.2.1 用于任意阶极点#

若$z_0$是$f(z)$的$m$阶极点，则

因为一阶比较常见，所以这里给出特例：

推论 5.2.2 仅适用于一阶极点 （同时也可用于得到一阶极点）#

若$z_0$是$f(z)$的一阶极点，且$f(z)$可表示为$f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}$，$P(z)$和$Q(z)$在点$z_0$处解析，且$P(z_0) \neq 0$，$Q(z_0) = 0$，$Q'(z_0) \neq 0$，则$z_0$是$f(z)$的一阶极点，且

TIP

请灵活拆分$P(z)$和$Q(z)$，尽量简化$Q(z)$的求导