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[工科复变函数] 洛朗级数
2025-09-27
复变函数
复变函数
/
数学
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本文以及本博客的数学内容主要作为个人笔记，其中包含大量的个人理解，存在不严谨甚至错误的内容，请谨慎阅读

洛朗级数#

洛朗级数是泰勒级数的推广

泰勒级数只适用于解析函数，而洛朗级数适用于在某个环域内解析的函数

它可以绕开奇点，表示在奇点附近的函数行为

但实际上计算洛朗级数时仍然使用泰勒级数的结论 常用泰勒级数

f(z)=∑n=−∞∞an(z−z0)nf(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n

系数定义#

an=12πi∮Cf(z)(z−z0)n+1dza_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} dz

收敛半径#

洛朗级数的收敛域是一个圆环，所以半径有两个

  • 内半径R1R_1：从奇点到内侧边界的距离，用负幂项求得
  • 外半径R2R_2：从奇点到外侧边界的距离，用正幂项求得

求一个函数的洛朗级数#

e.g. 求f(z)=1(z−i)(z−2)f(z) = \frac{1}{(z-i)(z-2)}在1<∣z∣<21 < |z| < 2的洛朗级数

第一步 裂项#

裂项技巧

1(z−i)(z−2)=Az−i+Bz−2A=1i−2B=12−i1(z−i)(z−2)=1i−2⋅1z−i+12−i⋅1z−2\begin{aligned} \frac{1}{(z-i)(z-2)} &= \frac{A}{z-i} + \frac{B}{z-2} \\ A &= \frac{1}{i-2} \\ B &= \frac{1}{2-i} \\ \frac{1}{(z-i)(z-2)} &= \frac{1}{i-2} \cdot \frac{1}{z-i} + \frac{1}{2-i} \cdot \frac{1}{z-2} \end{aligned}

第二步 确定每一项的奇点在圆环内侧还是外侧#

  • 1z−i\frac{1}{z-i}的奇点z=iz=i在圆环内侧，所以1z−i\frac{1}{z-i}应展开为负幂项
  • 1z−2\frac{1}{z-2}的奇点z=2z=2在圆环外侧，所以1z−2\frac{1}{z-2}应展开为正幂项

第三步 展开每一项#

之所以需要变为1z\frac{1}{z}，是为了将展开后的收敛域”翻转”至边界的外侧

正幂项内侧收敛，负幂项外侧收敛，两侧限制就形成了环形收敛域

f(z)=1(z−i)(z−2)=1i−2⋅1z−i+12−i⋅1z−2=1i−2⋅1z⋅11−iz+12−i⋅(−12−z)=1i−2⋅1z∑n=0∞(iz)n+12−i∑n=0∞(z2)n(∣z∣>1,∣z∣<2)利用几何级数=∑n=0∞in(i−2)⋅1zn+1+∑n=0∞zn(2−i)2n=∑n=1∞in−1(i−2)⋅1zn+∑n=0∞zn(2−i)2n\begin{aligned} f(z) &= \frac{1}{(z-i)(z-2)} = \frac{1}{i-2} \cdot \frac{1}{z-i} + \frac{1}{2-i} \cdot \frac{1}{z-2} \\ &= \frac{1}{i-2} \cdot \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - \frac{i}{z}} + \frac{1}{2-i} \cdot \left(-\frac{1}{2-z}\right) \\ &= \frac{1}{i-2} \cdot \frac{1}{z} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{i}{z}\right)^n + \frac{1}{2-i} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{z}{2}\right)^n \quad (|z| > 1, |z| < 2) \quad \text{利用几何级数} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^n}{(i-2)} \cdot \frac{1}{z^{n+1}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{(2-i) 2^n} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{i^{n-1}}{(i-2)} \cdot \frac{1}{z^n} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{(2-i) 2^n} \end{aligned}

裂项技巧：覆盖法#

P(x)(x−a1)(x−a2)…(x−an)=A1x−a1+A2x−a2+⋯+Anx−an\frac{P(x)}{(x-a_1)(x-a_2)\dots(x-a_n)} = \frac{A_1}{x-a_1} + \frac{A_2}{x-a_2} + \dots + \frac{A_n}{x-a_n}

若要求AkA_k，则将等式两边同乘以(x−ak)(x-a_k)

令x=akx=a_k，此时除了AkA_k外，其他项均得0

所以

Ak=P(ak)(ak−a1)(ak−a2)…(ak−ak−1)(ak−ak+1)…(ak−an)A_k = \frac{P(a_k)}{(a_k - a_1)(a_k - a_2) \dots (a_k - a_{k-1})(a_k - a_{k+1}) \dots (a_k - a_n)}

由此可得每个系数AkA_k的值

[工科复变函数] 洛朗级数
https://a1kari8.github.io/posts/complex_func/laurent_series/
作者
A1kari8
发布于
2025-09-27
许可协议
CC BY-NC-SA 4.0
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