[工科复变函数] 调和函数

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[工科复变函数] 调和函数

2025-09-26

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数学

拉普拉斯方程#

\begin{aligned} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \\ \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0 \end{aligned}

用Nabla算子 $\nabla^2$ 或拉普拉斯算子 $\Delta$ 表示

调和函数是满足拉普拉斯方程的函数

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$

若 $u$ 或 $v$ 满足拉普拉斯方程，则称 $u$ 或 $v$ 为调和函数

若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，则 $u(x,y),v(x,y)$ 都是 $D$ 内的调和函数

来自同一个解析函数或满足柯西黎曼条件的调和函数 $u$ 和 $v$ ， $v$ 称为 $u$ 的共轭调和函数

它们的等值线在交点上永远相互正交

$f(z)$ 在区域 $D$ 内解析 $\Leftrightarrow$ 虚部 $v(x,y)$ 是实部 $u(x,y)$ 的共轭调和函数

由柯西黎曼条件

\begin{aligned} u^{\prime}_x = v^{\prime}_y \\ u^{\prime}_y = -v^{\prime}_x \end{aligned}

和全微分

\begin{aligned} dv = v^{\prime}_x dx + v^{\prime}_y dy \\ du = u^{\prime}_x dx + u^{\prime}_y dy \end{aligned}

得

\begin{aligned} v(x,y) = \int -u^{\prime}_y dx + \int u^{\prime}_x dy \\ u(x,y) = \int v^{\prime}_y dx - \int v^{\prime}_x dy \end{aligned}

该积分与积分路径无关，所以可以随意选择积分路径

[工科复变函数] 调和函数

作者

A1kari8

发布于

2025-09-26

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