[工科复变函数] 傅里叶变换

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12 分钟

[工科复变函数] 傅里叶变换

2025-10-24

复变函数

/

数学

~~先从傅里叶级数说起~~

说什么说，根本就不考

傅里叶变换#

正变换#

将一个时域函数（信号） $f(t)$ 转换为频域函数（每个频率的振幅） $F(\omega)$ 的过程称为傅里叶变换，公式如下：

F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{(-i \omega t)} dt

简写为 $F(\omega) = \mathscr{F}[f(t)]$

逆变换#

将一个频域函数 $F(\omega)$ 转换回时域函数 $f(t)$ 的过程称为傅里叶逆变换，公式如下：

f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{(i \omega t)} d\omega

简写为 $f(t) = \mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]$

条件#

傅里叶变换要求函数 $f(t)$ 满足一定的条件，通常包括：

绝对可积性：函数 $f(t)$ 在整个实数轴上绝对可积，即 $\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)| dt < \infty$
有限个间断点：函数 $f(t)$ 在任何有限区间内只有有限个间断点
有限个极值点：函数 $f(t)$ 在任何有限区间内只有有限个极值点

常见傅里叶变换对#

$f(t)$	$F(\omega)$	条件
$\delta(t)$	$1$	-
$1$	$2\pi \delta(\omega)$	-
$e^{i \omega_0 t}$	$2\pi \delta(\omega - \omega_0)$	-
$\text{sgn}(t)$	$\frac{2}{i \omega}$	-
$u(t)$	$\pi \delta(\omega) + \frac{1}{i \omega}$	-
$E e^{-\beta t^2}$	$E \exp{\left(-\frac{\omega^2}{4\beta}\right)} \sqrt{\frac{\pi}{\beta}}$	$E > 0, \beta > 0$
$\frac{1}{t}$	$-i \pi \text{sgn}(\omega)$	-

表格写不下了，更多见可能会用到的

单位脉冲函数（狄拉克函数）#

有些时候人们需要考虑物理量在空间或时间上高度集中的现象，狄拉克函数 $\delta(t)$ 就是用来描述这种现象的数学工具

定义如下：

\begin{aligned} \delta(t) = \begin{cases} 0, \quad t \neq 0 \\ \infty, \quad t = 0 \end{cases} \\[1.5em] \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) dt = 1 \end{aligned}

狄拉克函数已经超出了传统函数的范畴，属于广义函数，因为任何一个普通函数不可能在定义域的某一点取无穷大值

教材224页到229页已经沉浸在自己的艺术里了，太长不看直接看结论

性质7.3.1#

设 $f(t)$ 是任意连续函数

\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - t_0) f(t) dt = f(t_0)

性质7.3.2#

\delta(a t) = \frac{1}{|a|} \delta(t) \quad (a \neq 0, a \in \mathbb{R})

性质7.3.3#

\delta^{(n)}(-t) = (-1)^n \delta^{(n)}(t)

$\delta^{(n)}(-t)$ 表示将 $\delta(-t)$ 关于 $-t$ 求 $n$ 阶导数， $\frac{d^n \delta(-t)}{d(-t)^n}$

$\delta (t)$ 的导数定义式#

\int_{-\infty}^{\infty} \delta^{(n)}(t - t_0) f(t) dt = (-1)^n \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) f^{(n)}(t) dt

性质7.3.4#

设 $g(t)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上连续

g(t) \delta(t - t_0) = g(t_0) \delta(t - t_0) \qquad t_0 \in (-\infty, +\infty)

广义傅里叶变换#

对于某些不满足傅里叶变换条件的函数，可以通过引入狄拉克函数来定义广义傅里叶变换

还是直接记结论吧

\begin{aligned} \mathscr{F}[\delta(t)] &= 1 \quad \mathscr{F}^{-1}[1] = \delta(t) \\[1em] \mathscr{F}[1] &= 2\pi \delta(\omega) \quad \mathscr{F}^{-1}[2\pi \delta(\omega) ] = 1 \\[1em] \mathscr{F}[e^{i \omega_0 t}] &= 2\pi \delta(\omega - \omega_0) \quad \mathscr{F}^{-1}[2\pi \delta(\omega - \omega_0)] = e^{i \omega_0 t} \end{aligned}

符号函数的傅里叶变换#

\begin{aligned} \text{sgn}(t) = \begin{cases} 1, \quad t > 0 \\ -1, \quad t < 0 \end{cases} \\[1em] \mathscr{F}[\text{sgn}(t)] = \frac{2}{i\omega} \end{aligned}

如何求广义傅里叶变换#

核心就是将函数分解成上述几种已知的结论的组合，然后利用傅里叶变换的性质求解

三角函数的傅里叶变换#

用欧拉公式然后套已知变换对

傅里叶变换的性质#

以下均设 $\mathscr{F}[f(t)] = F(\omega)$

线性性质#

\mathscr{F}[a f(t) + b g(t)] = a \mathscr{F}[f(t)] + b \mathscr{F}[g(t)]

逆变换也有

对称性质#

把频域函数当作时域函数进行变换

\mathscr{F}[F(t)] = 2\pi f(-\omega)

位移性质#

\begin{aligned} \mathscr{F}[f(t \pm t_0)] = e^{\pm i \omega t_0} \mathscr{F}[f(t)] \\[1em] \mathscr{F}^{-1}[F(\omega \pm \omega_0)] = e^{\mp i \omega_0 t} f(t) \end{aligned}

坐标缩放性质#

\begin{aligned} \mathscr{F}[f(a t)] = \frac{1}{|a|} F\left(\frac{\omega}{a}\right) \end{aligned} \qquad (a \neq 0, a \in \mathbb{R})

微分性质#

\mathscr{F}[f^{(n)}(t)] = (i\omega)^n F(\omega) \\[1.5em] \mathscr{F}^{-1}[F^{(n)}(\omega)] = (-i t)^n f(t)

这个性质在求解微分方程时会大量用到

积分性质#

\mathscr{F} \left[ \int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau \right] = \frac{F(\omega)}{i \omega} + \pi F(0) \delta(\omega)

当 $\lim_{t \to -\infty} \int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau \to 0$ 时，有

\mathscr{F} \left[ \int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau \right] = \frac{F(\omega)}{i \omega}

乘积定理#

设 $F_1(\omega) = \mathscr{F}[f_1(t)]$ ， $F_2(\omega) = \mathscr{F}[f_2(t)]$ ，则有

\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f_1(t) f_2(t) dt &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \overline{F_1(\omega)} F_2(\omega) d\omega \\[2em] &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_1(\omega) \overline{F_2(\omega)} d\omega \end{aligned}

$\overline{F(\omega)}$ 表示 $F(\omega)$ 的复共轭函数

帕萨瓦尔定理#

\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2 d\omega

时域信号的总能量等于它在频域下的总能量

卷积#

3b1b的这个视频讲得挺好【官方双语】那么……什么是卷积？

定义#

(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) d\tau

$f*g$ 表示函数 $f$ 和 $g$ 的卷积

但是这个计算太麻烦了，好在傅里叶变换有个性质

卷积定理#

设 $\mathscr{F}[f(t)] = F(\omega)$ ， $\mathscr{F}[g(t)] = G(\omega)$ ，则有

\mathscr{F}[f * g] = F(\omega) G(\omega) \\[1.5em] \mathscr{F}[f \cdot g] = \frac{1}{2\pi} F(\omega) * G(\omega)

因为傅里叶变换的多种约定形式，这块可能会有不同，我这里的是教材上给的形式

卷积的性质#

交换律： $f * g = g * f$
结合律： $f *(g* h) = (f * g) * h$
分配律： $f *(g + h) = f* g + f* h$ 、

设 $g(t) = f_1(t) * f_2(t)$ ，则有

平移不变性质#

f_1(t-\alpha) * f_2(t-\beta) = g(t - \alpha - \beta)

坐标缩放#

f_1(a t) * f_2(a t) = \frac{1}{|a|} g(a t)

傅里叶变换求微分方程#

利用傅里叶变换的微分性质，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程

\begin{aligned} \text{设} \quad & f^{(n)}(t) + a_{n-1} f^{(n-1)}(t) + \cdots + a_1 f'(t) + a_0 f(t) = g(t) \\[1.5em] \text{则} \quad & (i\omega)^n F(\omega) + a_{n-1} (i\omega)^{n-1} F(\omega) + \cdots + a_1 (i\omega) F(\omega) + a_0 F(\omega) = G(\omega) \\[1.5em] \text{解得} \quad & F(\omega) = \frac{G(\omega)}{(i\omega)^n + a_{n-1} (i\omega)^{n-1} + \cdots + a_1 (i\omega) + a_0} \\[1.5em] \text{最后逆变换} \quad & f(t) = \mathscr{F}^{-1}[F(\omega)] \end{aligned}

可能会用到的#

常见傅里叶变换对#

三角函数#

\begin{aligned} \mathscr{F}[\cos{(\omega_0 t)}] &= \pi \left[ \delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0) \right] \\[2em] \mathscr{F}[\sin{(\omega_0 t)}] &= i \pi \left[ \delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0) \right] \end{aligned}

指数衰减函数#

单边的

f(t) = \begin{cases} e^{-a t}, \quad t \geq 0 \\ 0, \quad t < 0 \end{cases} \qquad (a > 0) \\[2.5em] F(\omega) = \frac{1}{a + i \omega}

双边的

f(t) = e^{-a |t|} \qquad (a > 0) \\[2.5em] F(\omega) = \frac{2a}{a^2 + \omega^2}

指数衰减函数和三角函数的变换计算其实很简单，不用硬背

之后这几个就是纯折磨，现算都是神人了

符号函数#

\text{sgn}(t) = \begin{cases} 1, \quad t > 0 \\ -1, \quad t < 0 \end{cases} \\[2.5em] F(\omega) = \frac{2}{i \omega}

单位阶跃函数#

基于符号函数

u(t) = \begin{cases} 1, \quad t \geq 0 \\ 0, \quad t < 0 \end{cases} \\[2.5em] F(\omega) = \pi \delta(\omega) + \frac{1}{i \omega}

钟形脉冲函数#

设钟形脉冲函数为：

f(t) = Ee^{-\beta t^2} \quad (E > 0, \beta > 0)

则其傅里叶变换为：

F(\omega) = E \exp{\left(-\frac{\omega^2}{4\beta}\right)} \sqrt{\frac{\pi}{\beta}}

矩形单脉冲函数#

f(t) = \begin{cases} E, \quad |t| \leq \frac{\tau}{2} \\ 0, \quad |t| > \frac{\tau}{2} \end{cases} \qquad (E > 0, \tau > 0) \\[2.5em] F(\omega) = \frac{2E}{\omega} \sin{\left(\frac{\omega \tau}{2}\right)}

狄利克雷积分#

\int_{0}^{\infty} \frac{\sin{x}}{x} dx = \frac{\pi}{2}

[工科复变函数] 傅里叶变换

https://a1kari8.github.io/posts/complex_func/fourier_transform/

作者

A1kari8

发布于

2025-10-24

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

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[工科复变函数] 留数在实变函数积分中的应用

傅里叶变换#

正变换#

逆变换#

条件#

常见傅里叶变换对#

单位脉冲函数（狄拉克函数）#

性质7.3.1#

性质7.3.2#

性质7.3.3#

δ(t)\delta (t)δ(t) 的导数定义式#

性质7.3.4#

广义傅里叶变换#

符号函数的傅里叶变换#

如何求广义傅里叶变换#

三角函数的傅里叶变换#

傅里叶变换的性质#

线性性质#

对称性质#

位移性质#

坐标缩放性质#

微分性质#

积分性质#

乘积定理#

帕萨瓦尔定理#

卷积#

定义#

卷积定理#

卷积的性质#

平移不变性质#

坐标缩放#

傅里叶变换求微分方程#

可能会用到的#

常见傅里叶变换对#

三角函数#

指数衰减函数#

符号函数#

单位阶跃函数#

钟形脉冲函数#

矩形单脉冲函数#

狄利克雷积分#

$\delta (t)$ 的导数定义式#