[工科复变函数] 初等函数

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[工科复变函数] 初等函数

2025-09-26

复变函数

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数学

复变函数的指数函数#

需要满足的条件:

$f(z)$ 在复平面内解析
$f^{\prime}(z)=f(z), z \in C$
$\mathit{Im}(z)=0$ 时， $f(z)=e^x$ ,其中 $x=\mathit{Re}(z)$ ，可见 $f(z)=e^x \left ( \cos y + i\sin y \right )$

如果 $z=x+iy$ ，那么称函数 $f(z)=e^x \left ( \cos y + i\sin y \right )$ 为复变数 $z$ 的指数函数，记作 $\exp z$

\begin{aligned} \exp z &= e^x \left ( \cos y + i\sin y \right ) = e^{x+iy} \\ \left | \exp z \right | &= e^x \\ \arg (\exp z) &= y + 2k\pi \end{aligned}

复变指数函数的特殊性质#

$e^z$ 是以 $2k\pi i$ 为周期的周期函数

复变函数的对数函数#

若 $z \ne 0$ ，称满足方程 $e^{\omega}=z$ 的函数 $\omega=f(z)$ 为复变数 $z$ 的对数函数，记作

\omega = \mathit{Ln} z

令 $\omega = u+iv$ ，则有 $z=e^{u+iv}=e^{u} \cdot e^{iv}$

$\because e^{u}=\left | z \right |,v=\arg z$

$\therefore \omega = \mathit{Ln}z=\ln{\left |z \right |}+i\arg z + 2k\pi i$ ( $k=0$ 时为主值)

CAUTION
指定 $k$ 为某具体值时
$\mathit{Ln}z^n \ne n\mathit{Ln}z$ 与 $\mathit{Ln}\sqrt[n]{z} \ne \frac{1}{n}\mathit{Ln}z$ 不一定成立

复数的乘幂#

\mathbf{a^b}=e^{\mathbf{b}\mathit{Ln}\mathbf a}=e^{\mathbf{b}\ln \mathbf a} \cdot e^{2 \mathbf{b} k \pi i}

当 $b$ 为整数时， $e^{2\mathbf{b}k\pi i}=1$ ，因 $2\mathbf{b}k\pi$ 是 $2k\pi$ 的倍数，故 $\mathbf{a^b}$ 仅有一个值

当 $b$ 为非整有理数 $\frac{p}{q}$ 时， $e^{2\mathbf{b}k\pi i}=e^{2\mathbf{\frac{p}{q}k\pi i}}$ ， $\mathbf{a^b}$ 具有 $q$ 个值

对于其他形式，有无穷多个值

复变函数的幂函数#

形如

z^{\mathbf{b}}=e^{\mathbf{b}\mathit{Ln}z}

的函数称为幂函数( $\mathbf{b}$ 为常复数)

\begin{aligned} z^{\mathbf{b}}&=e^{\mathbf{b}\mathit{Ln}z} \\ &= e^{\mathbf{b}\ln{\left | z \right |}}\left [ \cos{\mathbf{b} \left ( \arg z + 2k\pi \right ) } + i \sin{\mathbf{b} \left ( \arg z + 2k\pi \right ) } \right ] \text{ (k为任意整数)} \end{aligned}

复变幂函数的求导公式仍然成立#

$\left ( z^{\mathbf{b}} \right ) ^{\prime}=\mathbf{b}z^{\mathbf{b-1}}$

复变三角函数#

由欧拉公式

\begin{aligned} e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta \\ e^{-i\theta} = \cos \theta - i\sin \theta \end{aligned}

得到

\begin{aligned} \cos \theta = \frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2} \\ \sin \theta = \frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2i} \end{aligned}

$\theta = z$ 为复数时仍然成立

复变三角函数性质#

都在复平面内解析，其余与实变函数相同

公式

\begin{aligned} \cos z &= \cos{\left ( x+iy \right )}&=\cos x \cosh y - i\sin x\sinh y \\ \sin z &= \sin{\left ( x+iy \right )}&=\sin x \cosh y + i\cos x\sinh y \end{aligned}

双曲函数#

\begin{aligned} \cosh x &= \cos ix &= \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\\ \sinh x &= -i\sin ix &= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \end{aligned}

WARNING
用欧拉公式表示的 $e$ 的形式需要重点记忆，题目中可能会出现双曲函数和三角函数之间的转换

反三角函数#

\begin{aligned} \arcsin z &= -i\mathit{Ln}\left ( iz +\sqrt{1-z^2} \right ) \\ \arccos z &= -i\mathit{Ln}\left ( iz +\sqrt{z^2-1} \right ) \\ \arctan z &= -\frac{i}{2}\mathit{Ln}\frac{1+iz}{1-iz} \end{aligned}

反双曲三角函数#

\begin{aligned} \text{arcsinh} z &= \mathit{Ln}\left ( z +\sqrt{z^2+1} \right ) \\ \text{arccosh} z &= \mathit{Ln}\left ( z +\sqrt{z^2-1} \right ) \\ \text{arctanh} z &= \frac{1}{2}\mathit{Ln}\frac{1+z}{1-z} \end{aligned}

[工科复变函数] 初等函数

https://a1kari8.github.io/posts/complex_func/elementary_func/

作者

A1kari8

发布于

2025-09-26

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

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