[工科复变函数] 复数基础

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2 分钟

[工科复变函数] 复数基础

2025-09-01

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数学

欧拉公式#

e^{i \theta} = cos \theta + i \sin \theta

TIP
欧拉公式非常重要，大部分复数的运算都需要用到

辐角是复数与实轴的夹角，记作 $\arg z$

\begin{aligned} \arg z = \begin{cases} \arctan\left(\frac y x\right) & \qquad x > 0 \\ \arctan\left(\frac y x\right) + \pi& \qquad y \ge 0 , x < 0 \\ \arctan\left(\frac y x\right) - \pi& \qquad y < 0 , x < 0 \\ +\frac{\pi}{2} & \qquad y > 0 , x = 0 \\ -\frac{\pi}{2} & \qquad y < 0 , x = 0 \end{cases} \end{aligned}

TIP
感没感觉有点眼熟，这个东西其实就是atan2

\begin{aligned} \operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases} \arctan\left(\frac y x\right) & \qquad x > 0 \\ \arctan\left(\frac y x\right) + \pi& \qquad y \ge 0 , x < 0 \\ \arctan\left(\frac y x\right) - \pi& \qquad y < 0 , x < 0 \\ +\frac{\pi}{2} & \qquad y > 0 , x = 0 \\ -\frac{\pi}{2} & \qquad y < 0 , x = 0 \\ \text{undefined} & \qquad y = 0, x = 0 \end{cases} \end{aligned}

辐角 $\omega = \arg z$ 在除去原点和负实轴的复平面上连续

\sqrt[3]{i} = ?

\begin{aligned} z &= \sqrt[3]{i} \\ &= \sqrt[3]{\cos{\left ( \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right )} + i\sin{\left ( \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right )}} \\ &= \sqrt[3]{e^{i \left ( \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right )}} \\ &= e^{i \left ( \frac{\pi}{6} + \frac{2}{3}k\pi \right )} \\ &= \cos{\left ( \frac{\pi}{6} + \frac{2}{3}k\pi \right )} + i\sin{\left ( \frac{\pi}{6} + \frac{2}{3}k\pi \right )} \end{aligned}

[工科复变函数] 复数基础

作者

A1kari8

发布于

2025-09-01

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