[工科复变函数] 解析函数

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[工科复变函数] 解析函数

2025-07-07

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数学

复变函数的导数与微分#

在复变函数中，可导与可微是等价的

所以要证明复变函数在某点是否可微时只需算该点的导数是否存在

f^{\prime}(z_0) = \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}

\begin{aligned} f^{\prime}(z) &= \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} \\[1.5em] &= \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y} \end{aligned}

第二种的计算过程

\begin{aligned} f^{\prime}(z) &= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z+i\Delta y)-f(z)}{i\Delta y} \\[1.5em] &= \frac{1}{i} \cdot \frac{\partial f}{\partial y} \\[1.5em] &= \frac{1}{i} \left( \frac{\partial u}{\partial y} + i \frac{\partial v}{\partial y} \right) \\[1.5em] &= \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y} \end{aligned}

解析用于描述区域而可导用于描述点，也就是解析 $\supseteq$ 可导

若函数在一个区域内处处可导，则称该函数在该区域内解析

$f(z)$ 在 $z_0$ 点处可导 $\Leftarrow$ $f(z)$ 在 $z_0$ 处解析

$f(z)$ 在 $z_0$ 点处的邻域可导 $\Leftrightarrow f(z)$ 在 $z_0$ 处解析

函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在区域 $D$ 内有定义则：

$f(z)$ 在点 $z=x+iy$ 可微/可导 $\Leftrightarrow$ 在点 $x+iy$ 处， $u(x,y),v(x,y)$ 可微/可导且满足柯西-黎曼条件：

\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y}&=-\frac{\partial v}{\partial x} \end{aligned}

柯西-黎曼条件仅是 $f(z)$ 可导的必要条件，但若再证明 $u^{\prime}_x,u^{\prime}_y,v^{\prime}_x,v^{\prime}_y$ 在 $z$ 点处连续，则可得到 $f(z)$ 在 $z$ 点处可微/可导的充分必要条件

先使用柯西-黎曼条件，求出 $u,v$ 的偏导数
列出方程组，解出 $x,y$ 为何值时满足柯西-黎曼条件
判断 $u^{\prime}_x,u^{\prime}_y,v^{\prime}_x,v^{\prime}_y$ 在 $x,y$ 的取值范围内是否连续，若不连续则不可导
$x,y$ 为点或线，则函数无解析区域，函数在此处可导；若 $x,y$ 为区域，函数在此区域内解析